Gabriel Lamé (1795-1870) est un mathématicien français qui apporta des contributions essentielles à la théorie des équations aux dérivées partielles par l'emploi des coordonnées curvilignes, et à la théorie mathématique de l'élasticité.
Les coefficients des coordonnées curvilignes sont encore actuellement dénommés "coefficients de Lamé".
Ses travaux seront magistralement poursuivis par Riemann, Darboux, Poincaré, Ricci et Levi-Civita.
Ancien élève de l'Ecole polytechnique (promotion 1814) et de l'Ecole des mines de Paris.
Enoncé :
L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation.
Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.
Le théorème de Lamé s'énonce ainsi:
"Le théorème de Lamé stipule que le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers est borné (supérieurement) par cinq fois le nombre de chiffres nécessaire à écrire (en base 10) le plus petit de ces deux entiers.".
On peut, en fait, être légèrement plus précis: Le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers a et b, avec a > b , est borné par la partie entière de ln(b) / ln ( φ),
où ln désigne le logarithme naturel et φ est le nombre d'or.
En effet: Le nombre de chiffres k de l'écriture de b en base 10 est minoré par: ln(b) / ln (10) et la quantité ln(10) / ln ( φ) est inférieure à 5.
Donc: ln(b) / ln ( φ) = [ ln(b) / ln (10) ] x [ ln (10) / ln( φ) ] < k x 5 = 5.k
De plus, cette majoration est la meilleure possible, puisqu'elle est atteinte quand a et b sont deux nombres de Fibonacci consécutifs.
